PET 원리 ③ 소멸 — 511 keV 감마선 두 개가 정반대로
2편에서 ¹⁸F가 양전자를 내뿜고, 양전자가 1 mm 안팎을 날아간 뒤 사라진다고 했습니다. 이번 편은 그 “사라지는 순간”입니다. PET이라는 장비가 존재할 수 있는 이유가 전부 이 순간에 들어 있습니다.
물질과 반물질이 만나면
양전자는 전자의 반물질입니다. 질량은 같고 전하만 반대입니다. 이 둘이 만나면 서로를 없애버리고, 두 입자의 질량 전체가 에너지로 바뀝니다. 이것을 소멸(annihilation) 이라고 합니다.
양전자가 속도를 줄인 뒤 전자를 만나 소멸하고, 511 keV 감마선 두 개가 반대 방향으로 날아갑니다.
질량이 에너지로 바뀌는 양은 아인슈타인의 그 유명한 식으로 정해집니다.
\[E = m c^2\]전자 하나의 질량을 이 식에 넣으면 511 keV가 나옵니다. 양전자도 질량이 같으니 역시 511 keV입니다. 이 에너지가 빛의 알갱이(광자, photon) 형태로 튀어나오는데, 에너지가 이만큼 높은 광자를 감마선(γ-ray) 이라고 부릅니다.
keV(킬로전자볼트)는 입자 하나의 에너지를 재는 단위입니다. 눈에 보이는 빛의 광자는 2~3 eV 정도이니, 511 keV 감마선은 가시광선보다 약 20만 배 강한 광자입니다. 그래서 몸을 쉽게 뚫고 나옵니다.
왜 두 개이고, 왜 정반대인가
소멸 직전의 양전자와 전자는 거의 멈춰 있습니다. 양전자가 날아가면서 에너지를 다 잃은 다음에야 전자와 만나기 때문입니다. 멈춰 있던 것들이 사라지면서 광자를 내보낼 때는 운동량 보존이라는 규칙을 지켜야 합니다.
비유하면 이렇습니다. 얼음판 위에 가만히 서 있는 두 사람이 서로를 밀어내면, 한 사람이 오른쪽으로 미끄러질 때 다른 사람은 반드시 왼쪽으로 미끄러집니다. 처음에 전체 운동량이 0이었으니 끝나고도 0이어야 하기 때문입니다.
소멸도 똑같습니다.
- 광자가 하나만 나오면 그 광자의 운동량을 상쇄할 짝이 없습니다. 그래서 하나로는 불가능합니다.
- 두 개가 나오면서 정확히 반대 방향으로 날아가면 운동량 합이 0이 됩니다.
- 두 광자가 에너지를 똑같이 나눠 가지면 운동량 크기도 같아집니다. 그래서 둘 다 511 keV입니다.
이렇게 “511 keV 광자 두 개가 180° 반대 방향으로” 라는 PET의 핵심 성질이 물리 법칙에서 저절로 나옵니다.
드물게 광자가 세 개 나오는 경우도 있지만, 몸속에서는 1% 미만이라 PET에서는 무시합니다.
이 성질이 왜 그렇게 중요한가
두 광자를 동시에 잡으면, 소멸 위치가 그 두 점을 잇는 직선 위 어딘가라는 걸 알 수 있습니다. 광자가 어느 방향에서 왔는지 따로 알아낼 필요가 없습니다. 방향 정보가 “짝”에 이미 들어 있기 때문입니다.
감마선 카메라(SPECT)와 비교하면 이 장점이 확실히 보입니다. SPECT는 광자가 하나만 나오는 동위원소를 씁니다. 방향을 알아내려면 검출기 앞에 납으로 만든 격자(콜리메이터) 를 대서 한 방향에서 온 광자만 통과시키고 나머지는 다 버려야 합니다. 대부분의 신호를 버리는 셈입니다. PET은 짝을 이용해 전자적으로 방향을 알아내므로 납 격자가 필요 없고, 그만큼 감도가 훨씬 높습니다.
이 “짝 찾기”를 동시계수(coincidence detection) 라고 하고, 두 점을 잇는 직선을 LOR(Line of Response) 이라고 합니다. 5편의 주제입니다.
두 번째 물리적 한계: 정확히 180°는 아니다
앞에서 “소멸 직전의 양전자와 전자는 거의 멈춰 있다”고 했습니다. 완전히 멈춰 있는 건 아닙니다. 전자는 원자 안에서 늘 조금씩 움직이고 있어서, 소멸할 때 남아 있던 아주 작은 운동량 때문에 두 광자가 180°에서 살짝 벗어나 날아갑니다. 이것을 비공선성(non-collinearity) 이라고 합니다.
벗어나는 각도는 평균적으로 0.5° 정도(반치폭 기준)입니다. 작아 보이지만, 광자가 날아가는 거리가 길면 끝에서는 어긋남이 커집니다.
왼쪽: 각도가 살짝 틀어지면 측정된 직선이 실제 소멸 위치를 비켜 갑니다(각도 과장). 오른쪽: 이로 인한 흐려짐은 검출기 링 지름에 비례합니다.
흐려짐의 크기는 대략 다음과 같습니다.
\[\text{blur (FWHM)} \approx 0.0022 \times D\]여기서 \(D\)는 검출기 링의 지름입니다. 전신 PET처럼 지름이 80 cm 정도면 약 1.8 mm나 흐려집니다. 소동물 PET처럼 링이 작으면 0.3 mm 수준입니다. 동물용 PET 해상도가 훨씬 좋은 이유 중 하나입니다.
2편의 양전자 비정과 마찬가지로, 이것도 검출기를 아무리 잘 만들어도 피할 수 없는 물리 한계입니다. 지금까지 나온 두 가지를 정리하면 이렇습니다.
| 한계 | 원인 | ¹⁸F, 전신 PET 기준 크기 |
|---|---|---|
| 양전자 비정 | 양전자가 날아간 뒤 소멸 | 1 mm 미만 |
| 비공선성 | 두 광자가 정확히 180°가 아님 | 약 1.8 mm |
몸을 빠져나오는 길: 감쇠와 산란
511 keV 감마선은 강하지만, 몸을 전부 무사히 빠져나오지는 못합니다. 도중에 조직의 전자와 부딪히는 경우가 있는데, 이 에너지 대역에서는 대부분 콤프턴 산란(Compton scattering) 입니다. 당구공처럼 전자와 부딪혀 방향이 꺾이고 에너지 일부를 잃는 현상입니다.
이렇게 되면 두 가지 문제가 생깁니다.
- 감쇠(attenuation): 광자가 꺾여서 검출기에 아예 도달하지 못하면 그 쌍은 사라집니다. 신호가 줄어듭니다.
- 산란(scatter): 꺾인 광자가 엉뚱한 검출기에 도달하면, 두 점을 잇는 직선이 실제 소멸 위치를 지나지 않습니다. 틀린 정보가 섞입니다.
감쇠가 얼마나 심한지 계산해 보면 꽤 놀랍습니다. 물속에서 511 keV 광자는 1 cm마다 약 9%씩 사라집니다(선형 감쇠 계수 μ ≈ 0.096 /cm). PET은 두 광자가 모두 빠져나와야 쓸 수 있으니, 두 광자가 지나는 전체 경로 길이만큼 감쇠를 받습니다.
두 광자가 모두 몸을 빠져나올 확률. 몸통처럼 두꺼운 부위에서는 대부분의 쌍이 사라집니다(물 기준 단순 계산).
머리만 해도 두 광자가 모두 빠져나오는 쌍은 20%가 안 되고, 복부처럼 두꺼운 곳은 몇 %에 불과합니다. 그러니 보정 없이 영상을 만들면 몸 가운데가 실제보다 훨씬 어둡게 나옵니다.
흥미로운 점이 하나 있습니다. 두 광자의 경로를 합치면 LOR이 몸을 가로지르는 전체 길이가 됩니다. 소멸이 그 직선 위 어디서 일어났든 상관없이 감쇠량이 같다는 뜻입니다. 이 성질 덕분에 PET은 감쇠를 정확히 보정할 수 있고, 이때 CT 영상이 쓰입니다. 7편에서 자세히 다룹니다.
정리
- 양전자와 전자가 만나면 질량이 에너지로 바뀌며 소멸합니다. 전자 질량에 해당하는 에너지가 511 keV입니다.
- 운동량 보존 때문에 광자는 두 개가, 정반대로, 같은 에너지로 나옵니다.
- 두 광자를 동시에 잡으면 소멸 위치가 그 직선(LOR) 위에 있다는 걸 압니다. 납 격자가 필요 없어서 감도가 높습니다.
- 정확히 180°는 아닙니다(비공선성). 전신 PET에서 약 1.8 mm 흐려지는 물리적 한계입니다.
- 몸 안에서 광자는 콤프턴 산란으로 사라지거나(감쇠) 방향이 바뀝니다(산란). 둘 다 나중에 보정해야 합니다.
다음 편에서는 몸을 빠져나온 511 keV 감마선을 어떻게 붙잡아서 전기 신호로 바꾸는지, 즉 PET 검출기를 살펴봅니다.
참고문헌
- Moses WW. Fundamental limits of spatial resolution in PET. Nucl Instrum Methods Phys Res A. 2011;648(Suppl 1):S236–S240. doi:10.1016/j.nima.2010.11.092
- Hubbell JH, Seltzer SM. X-Ray Mass Attenuation Coefficients — Water. NIST. physics.nist.gov
- Conti M, Eriksson L. Physics of pure and non-pure positron emitters for PET: a review and a discussion. EJNMMI Physics. 2016;3:8. doi:10.1186/s40658-016-0144-5
본문의 수치는 위 문헌과 대조해 확인했습니다. 그림은 모두 위 수치와 물리 식을 바탕으로 Python으로 직접 계산해 그린 것입니다.
PET 원리 시리즈